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<!DOCTYPE html>

<title>Randbedingung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Randbedingung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Randbedingungen</b> (gelegentlich auch als <b>Rahmenbedingungen</b> bezeichnet) sind im Allgemeinen Umstände, die nur mit großem Aufwand oder gar nicht beeinflussbar sind oder sich aus der Problemstellung zwingend ergeben, und daher als gegebene Größen (<a href="Datenparameter" title="Datenparameter">Datenparameter</a>) betrachtet werden müssen, beispielsweise bei wissenschaftlichen Versuchen oder bei mathematischen Berechnungen.

</p><p>In vielen Fällen wird der Begriff Randbedingung auch als Synonym zu „<a href="Nebenbedingung" title="Nebenbedingung">Nebenbedingung</a>“ verwendet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Randbedingungen_und_Differentialgleichungen">Randbedingungen und Differentialgleichungen</h2></div>

<p>Im Bereich der <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a> sind Randbedingungen konkrete Angaben zum Berechnen der Lösungsfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span> auf einem <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span>. Dazu werden die Werte der Funktion auf dem <a href="Rand_(Topologie)" title="Rand (Topologie)">Rand</a> (im <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologischen Sinn</a>) von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> vorgegeben.

</p><p>Im einfachsten Fall ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=(a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=(a,b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5eb6ea1d0aa82d72cccb8fc8cf8d51b14f74ee9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.093ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D=(a,b)}" loading="lazy"></span> ein Intervall, und die Randbedingungen sind vorgegebene <a href="Funktionswert" class="mw-redirect" title="Funktionswert">Funktionswerte</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(a)=c_{1};\;u(b)=c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(a)=c_{1};\;u(b)=c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54046b13e1bc3679fd35ecb6c8987e9dc78a0524.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(a)=c_{1};\;u(b)=c_{2}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Werden hier statt zwei Werten nur an einem <a href="Randpunkt" class="mw-redirect" title="Randpunkt">Randpunkt</a> des Intervalles – meistens <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> – Werte für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span> und zusätzlich für Ableitungen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span> vorgegeben, so spricht man von einem <a href="Anfangswertproblem" title="Anfangswertproblem">Anfangswertproblem</a> und nennt die vorgegebenen Werte seine <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a>.

</p><p><a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">Partielle Differentialgleichungen</a> betrachtet man meistens auf <a href="Sobolew-Raum" class="mw-redirect" title="Sobolew-Raum">Sobolew-Räumen</a>. In diesen Räumen werden Funktionen, die bis auf <a href="Nullmenge" title="Nullmenge">Nullmengen</a> übereinstimmen, als gleich angesehen. Da der Rand eines Gebietes üblicherweise eine Nullmenge ist, ist der Begriff der Randbedingung problematisch. Lösungen für dieses Problem sind sobolewsche Einbettungssätze oder – allgemeiner – <a href="Spuroperator" class="mw-redirect" title="Spuroperator">Spuroperatoren</a>.

</p><p><a href="Randwertproblem" title="Randwertproblem">Randwertaufgaben</a> haben nicht immer eine Lösung (siehe Beispiel unten), im Falle ihrer Existenz ist die Lösung nicht in allen Fällen eindeutig. Die Berechnung einer Näherungslösung für eine Randwertaufgabe mit Mitteln der <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen Mathematik</a> ist oft aufwendig und läuft meist auf die Lösung sehr großer <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">Gleichungssysteme</a> hinaus.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

<p>Sei die gegebene Differentialgleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y''(x)=-y(x)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y''(x)=-y(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89e485cb2733c062280debf2c149b429f270ec77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y''(x)=-y(x)}" loading="lazy"></span>. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\sin(x)+b\cos(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\sin(x)+b\cos(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61ad3e7ac88a5505562af73825324c6c9c1bf29f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\sin(x)+b\cos(x)}" loading="lazy"></span>.

</p>

<ul><li>Gesucht ist die Lösung mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef5bef5522ce5787b7fcf8acd8bc9630d37ee918.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)=1}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(\pi /2)=0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(\pi /2)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2745a120581106228e0b2f4c7e48dfc6657bf5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.883ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(\pi /2)=0}" loading="lazy"></span> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow }" loading="lazy"></span> Die Lösung ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\cos(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\cos(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ebaabd560230a0ab64a0dc603f2951c76cc4b1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=\cos(x)}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<ul><li>Periodische Randbedingung: Gesucht ist die Lösung mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/343c32f38bb379b4b208477b130d8f522d3f0788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)=0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(\pi )=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(\pi )=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8594a3506dc63067d9788faef9d76a586619aa2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.558ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(\pi )=0}" loading="lazy"></span> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow }" loading="lazy"></span> Es gibt unendlich viele Lösungen der Form <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\sin(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\sin(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1007d92ba93ac519139c52a15875d01af17626a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\sin(x)}" loading="lazy"></span> mit beliebigem <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<ul><li>Gesucht ist die Lösung mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/343c32f38bb379b4b208477b130d8f522d3f0788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)=0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(2\pi )=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(2\pi )=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/183614875bc9ee914ddb4bc801323eeb105263b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(2\pi )=1}" loading="lazy"></span> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow }" loading="lazy"></span>Es gibt keine Lösung.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arten_von_Randbedingungen">Arten von Randbedingungen</h3></div>

<p>Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, auf dem Rand des betrachteten <a href="Gebiet_(Mathematik)" title="Gebiet (Mathematik)">Gebietes</a> Werte vorzuschreiben:

</p>

<ul><li>Werte der Lösung vorschreiben; im Fall einer auf dem <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[a,b\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[a,b\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[a,b\right]}" loading="lazy"></span> definierten <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlichen Differentialgleichung</a> schreibt man also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(a)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b3f08346d41720d9cd34e576ddc33e77b0da42d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.195ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(a)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bdcf0594158a3f9b09e64c2af3e0a1384ee10ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.962ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(b)}" loading="lazy"></span> vor und spricht dann von <i><a href="Dirichlet-Randbedingung" title="Dirichlet-Randbedingung">Dirichlet-Randbedingungen</a></i>.</li>

<li>Bedingungen an die <a href="Differentialrechnung#Ableitungsfunktion" title="Differentialrechnung">Ableitungen</a> stellen, also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{\prime }(a)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{\prime }(a)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd60f371f7ae83457ad94bf5dd9026db14deced0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.884ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y^{\prime }(a)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{\prime }(b)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{\prime }(b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9c3277e23a3854df47fc2a155f23613f0a2fe22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.652ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y^{\prime }(b)}" loading="lazy"></span> vorgeben, dann spricht man von <i><a href="Neumann-Randbedingung" title="Neumann-Randbedingung">Neumann-Randbedingungen</a></i> (bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, wie oben ausgeführt, von Anfangsbedingungen).</li>

<li>Ein Spezialfall sind <a href="Periodische_Randbedingung" title="Periodische Randbedingung">periodische Randbedingungen</a>, hier muss (im Beispiel einer auf dem Intervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[a,b\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[a,b\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[a,b\right]}" loading="lazy"></span> betrachteten gewöhnlichen Differentialgleichung) gelten: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(a)=y(b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(a)=y(b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ac8ddf8c18d22a38e5fe8e701a9665660e72a1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(a)=y(b)}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/757c0f4d502d2cc1131120108e33024bf2e6e115.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.635ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y^{\prime }(a)=y^{\prime }(b)}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Künstliche_Randbedingungen"><span id="K.C3.BCnstliche_Randbedingungen"></span>Künstliche Randbedingungen</h3></div>

<p>Bei unbeschränkten Gebieten erfordert die numerische Lösung üblicherweise eine Einschränkung des Gebiets. Hier sind dann Randbedingungen vorzugeben, die im eigentlichen Problem nicht vorhanden, also künstlich sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wirtschaftswissenschaften">Wirtschaftswissenschaften</h2></div>

<p>In der <a href="Betriebswirtschaftslehre" title="Betriebswirtschaftslehre">Betriebswirtschaftslehre</a> und der <a href="Volkswirtschaftslehre" title="Volkswirtschaftslehre">Volkswirtschaftslehre</a> entsprechen die Randbedingungen den kurzfristig oder gar nicht durch den <a href="Entscheidungstr%C3%A4ger" class="mw-redirect" title="Entscheidungsträger">Entscheidungsträger</a> beeinflussbaren <a href="Datenparameter" title="Datenparameter">Datenparametern</a> wie beispielsweise die <a href="Umweltzustand" title="Umweltzustand">Umweltzustände</a> der <a href="Witterung" title="Witterung">Witterung</a> oder der <a href="Gesetz" title="Gesetz">Gesetze</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Randbedingung" class="extiw external" title="wikt:Randbedingung">Wiktionary: Randbedingung</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4725397-6">4725397-6</a></span> </div>

</div></div> </div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-02-22" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Randbedingung&oldid=253578944">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</body></html>